2018年温州中考数学试卷易错题及分析

2019-05-16    编辑:教育与王者 阅读数:

1.(4分)如图,点A,B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点C,D在反比例函数y=(k>0)的图象上,AC∥BD∥y轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为,则k的值为(  )

A.4                                 B.3                                    C.2                                  D.
【分析】先求出点A,B的坐标,再根据AC∥BD∥y轴,确定点C,点D的坐标,求出AC,BD,最后根据,△OAC与△ABD的面积之和为,即可解答.
【解答】解:∵点A,B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点A,B的横坐标分别为1,2,
∴点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(2,),
∵AC∥BD∥y轴,
∴点C,D的横坐标分别为1,2,
∵点C,D在反比例函数y=(k>0)的图象上,
∴点C的坐标为(1,k),点D的坐标为(2,),
∴AC=k﹣1,BD=
∴S△OAC=(k﹣1)×1=,S△ABD=×(2﹣1)=
∵△OAC与△ABD的面积之和为

解得:k=3.
故选:B.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,解决本题的关键是求出AC,BD的长.
2.(4分)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为(  )

A.20                              B.24                                 C.                             D.
【分析】欲求矩形的面积,则求出小正方形的边长即可,由此可设小正方形的边长为x,在直角三角形ACB中,利用勾股定理可建立关于x的方程,解方程求出x的值,进而可求出该矩形的面积.
【解答】解:设小正方形的边长为x,
∵a=3,b=4,
∴AB=3+4=7,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即(3+x)2+(x+4)2=72,
整理得,x2+7x﹣12=0,
解得x=或x=(舍去),
∴该矩形的面积=(+3)(+4)=24,
故选:B.

【点评】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用,求出小正方形的边长是解题的关键.

3.(5分)如图,直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A,B两点,C是OB的中点,D是AB上一点,四边形OEDC是菱形,则△OAE的面积为 2 

【分析】延长DE交OA于F,如图,先利用一次函数解析式确定B(0,4),A(4,0),利用三角函数得到∠OBA=60°,接着根据菱形的性质判定△BCD为等边三角形,则∠BCD=∠COE=60°,所以∠EOF=30°,则EF=OE=1,然后根据三角形面积公式计算.
【解答】解:延长DE交OA于F,如图,
当x=0时,y=﹣x+4=4,则B(0,4),
当y=0时,﹣x+4=0,解得x=4,则A(4,0),
在Rt△AOB中,tan∠OBA==
∴∠OBA=60°,
∵C是OB的中点,
∴OC=CB=2,
∵四边形OEDC是菱形,
∴CD=BC=DE=CE=2,CD∥OE,
∴△BCD为等边三角形,
∴∠BCD=60°,
∴∠COE=60°,
∴∠EOF=30°,
∴EF=OE=1,
△OAE的面积=×4×1=2
故答案为2

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征:一次函数y=kx+b,(k≠0,且k,b为常数)的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是(﹣,0);与y轴的交点坐标是(0,b).直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b.也考查了菱形的性质.
4.(5分)小明发现相机快门打开过程中,光圈大小变化如图1所示,于是他绘制了如图2所示的图形.图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形,若PQ所在的直线经过点M,PB=5cm,小正六边形的面积为cm2,则该圆的半径为 8 cm.

【分析】设两个正六边形的中心为O,连接OP,OB,过O作OG⊥PM,OH⊥AB,由正六边形的性质及邻补角性质得到三角形PMN为等边三角形,由小正六边形的面积求出边长,确定出PM的长,进而求出三角形PMN的面积,利用垂径定理求出PG的长,在直角三角形OPG中,利用勾股定理求出OP的长,设OB=xcm,根据勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解即可得到结果.
【解答】解:设两个正六边形的中心为O,连接OP,OB,过O作OG⊥PM,OH⊥AB,
由题意得:∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°,
∵小正六边形的面积为cm2,
∴小正六边形的边长为cm,即PM=7cm,
∴S△MPN=cm2,
∵OG⊥PM,且O为正六边形的中心,
∴PG=PM=cm,OG=PM=
在Rt△OPG中,根据勾股定理得:OP==7cm,
设OB=xcm,
∵OH⊥AB,且O为正六边形的中心,
∴BH=x,OH=x,
∴PH=(5﹣x)cm,
在Rt△PHO中,根据勾股定理得:OP2=(x)2+(5﹣x)2=49,
解得:x=8(负值舍去),
则该圆的半径为8cm.
故答案为:8

【点评】此题考查了正多边形与圆,熟练掌握正多边形的性质是解本题的关键.
5.(8分)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,AD∥EC,∠AED=∠B.
(1)求证:△AED≌△EBC.
(2)当AB=6时,求CD的长.

【分析】(1)利用ASA即可证明;
(2)首先证明四边形AECD是平行四边形,推出CD=AE=AB即可解决问题;
【解答】(1)证明:∵AD∥EC,
∴∠A=∠BEC,
∵E是AB中点,
∴AE=EB,
∵∠AED=∠B,
∴△AED≌△EBC.

(2)解:∵△AED≌△EBC,
∴AD=EC,
∵AD∥EC,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴CD=AE,
∵AB=6,
∴CD=AB=3.
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
6.(8分)现有甲、乙、丙等多家食品公司在某市开设蛋糕店,该市蛋糕店数量的扇形统计图如图所示,其中统计图中没有标注相应公司数量的百分比.已知乙公司经营150家蛋糕店,请根据该统计图回答下列问题:
(1)求甲公司经营的蛋糕店数量和该市蛋糕店的总数.
(2)甲公司为了扩大市场占有率,决定在该市增设蛋糕店,在其余蛋糕店数量不变的情况下,若要使甲公司经营的蛋糕店数量达到全市的20%,求甲公司需要增设的蛋糕店数量.

【分析】(1)由乙公司蛋糕店数量及其占总数的比例可得总数量,再用总数量乘以甲公司数量占总数量的比例可得;
(2)设甲公司增设x家蛋糕店,根据“该市增设蛋糕店数量达到全市的20%”列方程求解可得.
【解答】解:(1)该市蛋糕店的总数为150÷=600家,
甲公司经营的蛋糕店数量为600×=100家;

(2)设甲公司增设x家蛋糕店,
由题意得:20%×(600+x)=100+x,
解得:x=25,
答:甲公司需要增设25家蛋糕店.
【点评】本题主要考查扇形统计图与一元一次方程的应用,解题的关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数及根据题意确定相等关系,并据此列出方程.
7.(8分)如图,P,Q是方格纸中的两格点,请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.
(1)画出一个面积最小的▱PAQB.
(2)画出一个四边形PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形,且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.

【分析】(1)画出面积是4的格点平行四边形即为所求;
(2)画出以PQ为对角线的等腰梯形即为所求.
【解答】解:(1)如图①所示:
(2)如图②所示:

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.也考查了轴对称变换.
8.(10分)如图,抛物线y=ax2+bx(a≠0)交x轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B.
(1)求a,b的值.
(2)P是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP,BP.设点P的横坐标为m,△OBP的面积为S,记K=.求K关于m的函数表达式及K的范围.

【分析】(1)根据直线y=2x求得点M(2,4),由抛物线的对称轴及抛物线上的点M的坐标列出关于a、b的方程组,解之可得;
(2)作PH⊥x轴,根据三角形的面积公式求得S=﹣m2+4m,根据公式可得K的解析式,再结合点P的位置得出m的范围,利用一次函数的性质可得答案.
【解答】解:(1)将x=2代入y=2x,得:y=4,
∴点M(2,4),
由题意,得:

(2)如图,过点P作PH⊥x轴于点H,

∵点P的横坐标为m,抛物线的解析式为y=﹣x2+4x,
∴PH=﹣m2+4m,
∵B(2,0),
∴OB=2,
∴S=OB•PH
=×2×(﹣m2+4m)
=﹣m2+4m,
∴K==﹣m+4,
由题意得A(4,0),
∵M(2,4),
∴2<m<4,
∵K随着m的增大而减小,
∴0<K<2.
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及一次函数的性质等知识点.

9.(10分)如图,D是△ABC的BC边上一点,连接AD,作△ABD的外接圆,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在⊙O上.
(1)求证:AE=AB.
(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB=,BE=2,求BC的长.

【分析】(1)由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC,结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD,从而得出AB=AC,据此得证;
(2)作AH⊥BE,由AB=AE且BE=2知BH=EH=1,根据∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB==,据此得AC=AB=3,利用勾股定理可得答案.
【解答】解:(1)由折叠的性质可知,△ADE≌△ADC,
∴∠AED=∠ACD,AE=AC,
∵∠ABD=∠AED,
∴∠ABD=∠ACD,
∴AB=AC,
∴AE=AB;

(2)如图,过A作AH⊥BE于点H,

∵AB=AE,BE=2,
∴BH=EH=1,
∵∠ABE=∠AEB=∠ADB,cos∠ADB=
∴cos∠ABE=cos∠ADB=
=
∴AC=AB=3,
∵∠BAC=90°,AC=AB,
∴BC=3
【点评】本题主要考查三角形的外接圆,解题的关键是掌握折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点.
10.(12分)温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品,每人每天生产2件甲或1件乙,甲产品每件可获利15元.根据市场需求和生产经验,乙产品每天产量不少于5件,当每天生产5件时,每件可获利120元,每增加1件,当天平均每件利润减少2元.设每天安排x人生产乙产品.
(1)根据信息填表:


产品种类

每天工人数(人)

每天产量(件)

每件产品可获利润(元)

 65x 

 265x) 

15

x

x

 1302x 

(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元,求每件乙产品可获得的利润.
(3)该企业在不增加工人的情况下,增加生产丙产品,要求每天甲、丙两种产品的产量相等.已知每人每天可生产1件丙(每人每天只能生产一件产品),丙产品每件可获利30元,求每天生产三种产品可获得的总利润W(元)的最大值及相应的x值.
【分析】(1)根据题意列代数式即可;
(2)根据(1)中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可;
(3)根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到m与x之间的关系式,用x表示总利润利用二次函数性质讨论最值.
【解答】解:(1)由已知,每天安排x人生产乙产品时,生产甲产品的有(65﹣x)人,共生产甲产品2(65﹣x)130﹣2x件.在乙每件120元获利的基础上,增加x人,利润减少2x元每件,则乙产品的每件利润为120﹣2(x﹣5)=130﹣2x.
故答案为:65﹣x;130﹣2x;130﹣2x;
(2)由题意
15×2(65﹣x)=x(130﹣2x)+550
∴x2﹣80x+700=0
解得x1=10,x2=70(不合题意,舍去)
∴130﹣2x=110(元)
答:每件乙产品可获得的利润是110元.
(3)设生产甲产品m人
W=x(130﹣2x)+15×2m+30(65﹣x﹣m)
=﹣2(x﹣25)2+3200
∵2m=65﹣x﹣m
∴m=
∵x、m都是非负整数
∴取x=26时,m=13,65﹣x﹣m=26
即当x=26时,W最大值=3198
答:安排26人生产乙产品时,可获得的最大利润为3198元.
【点评】本题以盈利问题为背景,考查一元二次方程和二次函数的实际应用,解答时注意利用未知量表示相关未知量.

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